3.43 \(\int \frac{\coth ^3(x)}{(a+b \coth ^2(x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=74 \[ \frac{a}{3 b (a+b) \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{(a+b)^2 \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{5/2}} \]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) + a/(3*b*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b
)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.146045, antiderivative size = 74, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {3670, 446, 78, 51, 63, 208} \[ \frac{a}{3 b (a+b) \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{(a+b)^2 \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]^3/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2),x]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) + a/(3*b*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b
)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 78

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> -Simp[((b*e - a*f
)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), x] - Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1)
+ c*f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
n}, x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || LtQ
[p, n]))))

Rule 51

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1
))/((b*c - a*d)*(m + 1)), x] - Dist[(d*(m + n + 2))/((b*c - a*d)*(m + 1)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[
c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\coth ^3(x)}{\left (a+b \coth ^2(x)\right )^{5/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^3}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\coth (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x}{(1-x) (a+b x)^{5/2}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )\\ &=\frac{a}{3 b (a+b) \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 (a+b)}\\ &=\frac{a}{3 b (a+b) \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{(a+b)^2 \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 (a+b)^2}\\ &=\frac{a}{3 b (a+b) \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{(a+b)^2 \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\frac{a}{b}-\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \coth ^2(x)}\right )}{b (a+b)^2}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{5/2}}+\frac{a}{3 b (a+b) \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{(a+b)^2 \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.099818, size = 63, normalized size = 0.85 \[ \frac{a (a+b)-3 b \left (a+b \coth ^2(x)\right ) \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},1;\frac{1}{2};\frac{b \coth ^2(x)+a}{a+b}\right )}{3 b (a+b)^2 \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]^3/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2),x]

[Out]

(a*(a + b) - 3*b*(a + b*Coth[x]^2)*Hypergeometric2F1[-1/2, 1, 1/2, (a + b*Coth[x]^2)/(a + b)])/(3*b*(a + b)^2*
(a + b*Coth[x]^2)^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.02, size = 435, normalized size = 5.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2)^(5/2),x)

[Out]

1/3/b/(a+b*coth(x)^2)^(3/2)-1/6/(a+b)/((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(3/2)-1/6*b/(a+b)/a/((1+coth(x))^2
*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(3/2)*coth(x)-1/3*b/(a+b)/a^2/((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2)*coth(x)-1/2/
(a+b)^2/((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2)-1/2/(a+b)^2/a/((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2)*
b*coth(x)+1/2/(a+b)^(5/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+coth(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2
))/(1+coth(x)))-1/6/(a+b)/((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(3/2)+1/6*b/(a+b)/a/((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x
)-1)*b+a+b)^(3/2)*coth(x)+1/3*b/(a+b)/a^2/((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*coth(x)-1/2/(a+b)^2/((co
th(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^2/a/((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b*coth(x)+1/
2/(a+b)^(5/2)*ln((2*a+2*b+2*(coth(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(coth(x)-
1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (x\right )^{3}}{{\left (b \coth \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(x)^3/(b*coth(x)^2 + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 7.76102, size = 15741, normalized size = 212.72 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2*b + 2*a*b^2 +
b^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^6 - 4*(a^2*b - b^3 - 7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6
+ 8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*
cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3 - 30*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2)*
sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^3 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*
cosh(x))*sinh(x)^3 + a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^
6 - 15*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^4 - a^2*b + b^3 + 3*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^2*b
+ 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^5 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^3 - (a^2*b - b^3)
*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*
b)*sinh(x)^8 - 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 - 2*(2*a^3 + a^2*b - 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*
(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (
70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 - 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(
a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 - 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a
^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 - 15*(2*a^3
+ a^2*b)*cosh(x)^4 - 2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)
*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 - 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x
)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 - 18
*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 - 6*a^2*cosh(x)^3 + (
3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(
x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 - 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 +
4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x)
+ 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)
) + 3*((a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2*b + 2*a*b^2 + b^
3)*sinh(x)^8 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^6 - 4*(a^2*b - b^3 - 7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8
*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cos
h(x)^4 + 2*(35*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3 - 30*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2)*sin
h(x)^4 + 8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^3 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cos
h(x))*sinh(x)^3 + a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 -
15*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^4 - a^2*b + b^3 + 3*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^2*b + 2
*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^5 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^3 - (a^2*b - b^3)*co
sh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*b*cos
h(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(
a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(
(a + b)*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*sqrt(2)*((a^3
- a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^6 + 6*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b - 5
*a*b^2 - 3*b^3)*sinh(x)^6 - 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 - 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3 - 5*(a^3 -
a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^3 - a^2*
b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - a^3 + a^2*b + 5*a*b^2 + 3*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2
+ 3*(5*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3 - 6*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*c
osh(x)^2)*sinh(x)^2 + 6*((a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^5 - 2*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 +
(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^8 +
8*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a
^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*sinh(x)^8 - 4*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)
*cosh(x)^6 - 4*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6 - 7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3
+ 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b
^6 + 8*(7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^3 - 3*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a
^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*
b^5 + 3*b^6)*cosh(x)^4 + 2*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6 + 35*(a^5*b + 5*a^4*
b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^4 - 30*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a
*b^5 - b^6)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^
5 - 10*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^3 + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^
3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 -
b^6)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^6 - a^5*b - 3*a^4
*b^2 - 2*a^3*b^3 + 2*a^2*b^4 + 3*a*b^5 + b^6 - 15*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*
cosh(x)^4 + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^5*b
+ 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^7 - 3*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b
^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^5 + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6)*cosh(x)^3 - (a
^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x))*sinh(x)), -1/6*(3*((a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^8 + 8*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^2*b - b^3)*
cosh(x)^6 - 4*(a^2*b - b^3 - 7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^3 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2*b + 2*a*b^2
+ b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3 - 30*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2
+ b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^3 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^2*b + 2*a*b
^2 + b^3 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^4 - a
^2*b + b^3 + 3*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^
2*b - b^3)*cosh(x)^5 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^3 - (a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*ar
ctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 +
(a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)
*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 - (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 - 2*a^2
- a*b + b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 - (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x)
)) + 3*((a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2*b + 2*a*b^2 + b
^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^6 - 4*(a^2*b - b^3 - 7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 +
8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*co
sh(x)^4 + 2*(35*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3 - 30*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2)*si
nh(x)^4 + 8*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^3 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*co
sh(x))*sinh(x)^3 + a^2*b + 2*a*b^2 + b^3 - 4*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6
- 15*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^4 - a^2*b + b^3 + 3*(3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^2*b +
2*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^2*b - b^3)*cosh(x)^5 + (3*a^2*b - 2*a*b^2 + 3*b^3)*cosh(x)^3 - (a^2*b - b^3)*c
osh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)
/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)
^2 + a + b)) - 2*sqrt(2)*((a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^6 + 6*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x
)*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*sinh(x)^6 - 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 - 3*(a^3 - a
^2*b - a*b^2 + b^3 - 5*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*
b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - a^3 + a^2*b + 5*a*b^2 + 3*b^3 + 3*(a^3 - a
^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2 + 3*(5*(a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3 - 6
*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 6*((a^3 - a^2*b - 5*a*b^2 - 3*b^3)*cosh(x)^5 - 2*(a^3 - a^
2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)
*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^
4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^8 + 8*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)*sinh(x)
^7 + (a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*sinh(x)^8 - 4*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^
3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^6 - 4*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6 - 7*(a
^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*
b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6 + 8*(7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^
3 - 3*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2
+ 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6)*cosh(x)^4 + 2*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^
5 + 3*b^6 + 35*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^4 - 30*(a^5*b + 3*a^4*b^2
+ 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2
*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^5 - 10*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^3 + (
3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a
^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 +
b^6)*cosh(x)^6 - a^5*b - 3*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 + 2*a^2*b^4 + 3*a*b^5 + b^6 - 15*(a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3
- 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7*a*b^5 + 3*b^6)*co
sh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^5*b + 5*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 + 5*a*b^5 + b^6)*cosh(x)^7 - 3*(a^5*b + 3
*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x)^5 + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 6*a^2*b^4 + 7
*a*b^5 + 3*b^6)*cosh(x)^3 - (a^5*b + 3*a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 - 2*a^2*b^4 - 3*a*b^5 - b^6)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)**3/(a+b*coth(x)**2)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError